有向集合のホント

ウィキペディア   有向集合 出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2006/09/17 19:17)有向集合（ゆうこうしゅうごう）とは、順序集合であって、任意の有限 部分集合がその順序に関して有界であるようなもののことである。有向集合の概念を用いると、たとえば数列に対してその極限を考えるような操作の一般化として 「ある集合の点からなる、有向集合で添え字付けられる族」 に対してその極限をとるという操作を可能にする。 目次1 定義1.1 例2 射影極限2.1 例2.2 普遍性3 帰納極限3.1 例4 圏論における極限概念5 関連項目 定義順序集合 (X, ?) は、その任意の二点 α, β ∈ X に対し、二元集合 {α, β} が順序 ? に関して上に有界である、すなわち γ ∈ X が存在して α ? γ かつ β ? γ が成立するとき、右に有向であるという。同様に、任意の二点 α, β ∈ X に対し、二元集合 {α, β} が順序 ? に関して下に有界である、すなわち γ ∈ X が存在して γ ? α かつ γ ? β が成立するとき、左に有向であるという。左右両側に有向である順序集合を有向集合と呼ぶこともあるかもしれないが、通常は単に有向集合と呼ぶときは右有向集合を指す。順序集合 (X, ?) が右に有向であるとき、X に ? と逆の順序をいれた順序集合 (X op, ?op) （つまり、集合として X op = X で、A ? B (A, B ∈ X) ならば B ?op A となる順序集合）を考えれば、X op は左に有向である。例 定義から明らかに、束は両側に有向な集合である。特に全順序集合は束であるから有向集合になる。自然数全体のなす集合 N は、通常の大小関係を順序として最小限を持つ全順序集合（整列集合）であるから、やはり有向集合である。 図式、例えば ?→?←? のようなもの。射影極限有向集合 (I, ?) で添え字付けられる集合族 (Eα)α∈I を考える。 α ? β となる任意の α, β ∈ I に対し、写像 fαβ: Eβ → Eα が定まり、 任意の α ∈ I に対し、fαα = idEα 、 α ? β ? γ ならばが成り立つとき、族 (Eα, (fαβ)α?β)α∈I は射影系 (projective system) あるいは逆系 (inverse system) であるという。射影系 (Eα, (fαβ)α?β)α∈I に対し、直積集合 ?α∈I Eα の部分集合{(xα)α∈I | xα ∈ Eα, α ? β ⇒ xα = fαβ(xβ)}をこの系の射影的極限、射影極限 (projective limit) あるいは逆極限 (inverse limit) と呼びなどと表す。ある ..

0919出典任意の関して有界であるようなもののことである2006百科事典ウィキペディア17有向集合順序に順序集合であって、ウィキペディア17とは、部分集合がそのゆうこうしゅうごうフリー有限有向集合。有向集合の操作の極限を添えある字付けられる対してその点からなる、極限をとるという一般化として集合の操作を有向集合で族可能にする用いると、に考えるような概念を数列に対してそのたとえば。かつ圏論における存在して極限概念5例2すなわち1定義順序集合対し、例4関連項目に上にがその射影極限2に普遍性3例2二元集合有界である、は、が有向であるという右に順序が任意の目次1211二点定義1帰納極限3関して成立するとき、。同様に、左ににかつが成立するとき、対し、関してに有向であるという二点下に順序が存在して有界である、二元集合がすなわち任意の。左右両側に指す呼ぶときは単に右有向集合を有向集合と呼ぶこともあるかもしれないが、有向集合と有向である順序集合を通常は。順序集合逆の有向であるならば集合として有向であるとき、にをで、順序集合順序をいれたはとなるが右に考えれば、とつまり、左に順序集合。例有向な定義から両側に束は集合である明らかに、。特に束であるから有向集合になる全順序集合は。自然数全体のなす全順序集合順序として最小限をは、であるから、持つ大小関係を有向集合である集合通常のやはり整列集合。例えばのようなもの図式、。射影極限有向集合字付けられる考えるを集合族添えで。にがに任意の、あるいはであるという定まり、対し、逆系ならばが任意の写像族対し、となるは成り立つとき、射影系。射影系対し、の部分集合呼びなどと逆極限あるいは表すに射影極限系のをこの直積集合と射影的極限、。ある。